开放宏观经济学 | 只有戴冠英的世界

开放宏观经济学

一、基础模型

1、消费者的最优化

一、模型设定

考虑一个无限寿命的代表性家庭，其目标是最大化终身效用：

其中：

为时间 t 的消费

n_t 为时间 t 的劳动供给

为折现因子

为即时效用函数

家庭的预算约束为：

其中：

为时间 t 的资本存量

为时间 t 的实际工资

为时间 t 的实际利率

为资本折旧率

资本积累方程为：

其中：

为资本折旧率（与预算约束中的不同，这里可能是另一种参数化方式）

为时间 t 的投资

二、拉格朗日函数构建

为了求解这个动态最优化问题，构建拉格朗日函数：

其中，为时间 t 的拉格朗日乘子，表示预算约束的影子价格。

三、一阶条件

1）对消费 c_t 求导并令其等于零，得到一阶条件：

即：

2）对资本求导并令其等于零，得到：

整理得：

3）对劳动求导并令其等于零，得到：

整理得：

其中，表示效用函数对劳动的偏导数，即劳动的边际效用（通常为负，因为劳动是“坏”商品）。

四、结论方程推导

1）消费+劳动时间

和结合

得到

2）消费+资本

将代入上式：

再乘以（考虑时间偏好），得到消费-储蓄最优化条件（欧拉方程）：

这个方程表明，家庭在时间 t 的边际消费效用等于其预期的在未来时间 t+1 的边际消费效用，经过时间偏好折现和储蓄回报调整后的值。它刻画了家庭在跨期消费决策中的最优化行为，即如何在当前消费和未来储蓄之间进行权衡，以实现终身效用最大化。

2、公司的最优化

公司的目标是最大化每期利润

因此得到一阶条件和

同时需要注意，这里新增的变量z_t是企业的生产效率

- ：时间的TFP。 - ：TFP的自相关系数。 - ：TFP的均值。 - ：TFP的随机扰动项。

3、总结

用以下条件求得均衡

1)消费-劳动边际替代率（MRS）等于实际工资：

：劳动的边际效用（通常为负，因为劳动是“坏”商品）。

：消费的边际效用。

：时间的实际工资。

2)欧拉方程（消费-储蓄最优化条件）：

- ：折现因子。 - ：时间的期望算子。 - ：时间的实际利率。 - ：资本折旧率。

3)预算约束：

- ：时间的消费。 - ：时间的资本存量。 - ：时间的总产出。

4)要素价格条件：

- ：生产函数对劳动的偏导数。 - ：生产函数对资本的偏导数。

5)TFP（全要素生产率）过程：

- ：时间的TFP。 - ：TFP的自相关系数。 - ：TFP的均值。 - ：TFP的随机扰动项。

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